ESTADISTICA II: PRUEBA DE HIPÓTESIS: CASO II

CASO 2: DIFERENCIA DE MEDIAS PARA 2 POBLACIONES

Las pruebas de dos muestras se utilizan para decidir si las medias de dos poblaciones son iguales. Se requieren dos muestras independientes, una de cada una de las dos poblaciones. Considérese, por ejemplo, una compañía investigadora que experimentan con dos diferentes mezclas de pintura, para ver si se puede modificar el tiempo de secado de una pintura para uso doméstico. Cada mezcla es probada un determinado número de veces, y comparados posteriormente los tiempos medios de secado de las dos muestras. Una parece ser superior, ya que su tiempo medio de secado (muestra) es 30 minutos menor que el de la otra muestra.

Una de las pruebas de hipótesis más utilizadas es la que se comparan la diferencia entre dos medias poblacionales. D0 denota la diferencia hipotética entre μ1 y μ2, las tres formas que puede tener una prueba de hipótesis son las siguientes:

En muchas aplicaciones D0 = 0. Con un ejemplo de una prueba de hipótesis de dos colas, cuando D0 = 0 la hipótesis nula es H0: μ1- μ2 = 0. En este caso, la hipótesis nula es que μ1 y μ2 son iguales. Rechazar H0 lleva a la conclusión de que Ha: μ1 μ2 0 es verdadera: μ1 y μ2 no son iguales.

FÓRMULA

Entonces, evaluaremos nuestra hipótesis en función de Z y zα, obtenida mediante la tabla de la distribución normal.

Datos importantes:

Sin embargo, el caso más común es que no se conozcan las varianzas, entonces se utilizan la de las muestras para estimarlas, y el procedimiento es exactamente igual.

Como se menciona en el párrafo anterior, la única diferencia entre las fórmulas para calcular el estadístico de prueba y el error estándar de la diferencia entre 2 medias.

Cuando no se conocen las varianzas, pero se asume que son iguales

En estas condiciones, el estadístico de prueba sigue siendo Z de la distribución normal estándar:

Pero ahora, como se supone que las varianzas de las 2 poblaciones son iguales, se combinan las varianzas muestrales de la siguiente manera:

EJERCICIO RESUELTO

Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que tiende a reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es ocho minutos y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan 35 placas con la fórmula 1 y otras 35 con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son 116 minutos para la fórmula 1 y 112 minutos para la fórmula 2. ¿A qué conclusión puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, al nivel de significancia 0,01?

Por tabla, observamos que Zc = 2,33. Decidimos entonces aceptar la hipótesis nula. No hay evidencia suficiente como para demostrar que el tiempo de secado disminuye significativamente.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. En 2 ciudades en las que existen refinerías se tomó una muestra a cada persona de un grupo de 35, y se midió el nivel de plomo en la sangre. En la ciudad A s encontró que en promedio el nivel de plomo es de 74.9 microgramos con una desviación estándar de 8. En la ciudad B, el promedio es de 78 microgramos con una desviación estándar de 1. ¿Existe diferencia en el nivel de plomo en la sangre de los habitantes de cada ciudad, a un nivel de significancia de 0.01?

2. Una compañía telefónica brinda dos tipos de servicios, plan y prepago, y desea saber si existe diferencia entre el número de minutos utilizados mensualmente en cada servicio. En el caso de los usuarios del servicio de plan se tomó una muestra de 36 personas y se encontró que en promedio de minutos fue de 237 con una desviación estándar de 8.7. De los usuarios de prepago se tomó una muestra de 41 y en promedio fue de 248 con una desviación estándar de 10.4. Compruebe la hipótesis con un nivel de significancia de 0.01.

Se desea probar si el salario medio mensual de los empleados oficinistas de 2 empresas del ramo de servicios turísticos son iguales o no, con un nivel de significancia de 1%. Para ello, se toman muestras de ambas y los datos correspondientes se resumen en el siguiente cuadro: